「142857」小学生の頃教えてもらった魔法の数字

何年生の時か忘れてしまったけど、小学生の頃に算数の先生が教えてくれた数字が今でも印象に残っています。

それが「142857」です。

一見すると別に規則性があるようには見えませんが、わかるように説明していきたいと思います。

2から順に掛けてみる

まず、この数字に2を掛けます。すると答えは142857×2で「285714」。3を掛けると「428571」、4を掛けると「571428」。

この時点でお分かりの方もいらっしゃるかと思いますが、どれも元の数字を並べ替えた数字になっています。

そして5を掛けると「714285」、6を掛けると「857142」となります。

ここからが本当にすごいところです。

全てまとめてみる

先ほどの数字をすべてまとめてみます。

×1 = 1 4 2 8 5 7

×2 = 2 8 5 7 1 4

×3 = 4 2 8 5 7 1

×4 = 5 7 1 4 2 8

×5 = 7 1 4 2 8 5

×6 = 8 5 7 1 4 2

出来上がった6×6の数字のかたまりを見ると、なんと縦から見ても「142857」を並べ替えた数字になるのです。なんと美しいのでしょう。

ちなみに7を掛けると「999999」というこれまた規則的な数字になります。

分割してみる

続いてこの数字を2個ずつに分割してみます。そしてそれぞれを足すと「99」になります！

14 + 28 + 57 = 99

他の数字でもやってみるとどれも「99の倍数」になります。これをさらに1ケタずつ足すというのを繰り返すといずれも「9」になります。

285714 → 28 + 57 + 14 = 99 → 18 → 9

428571 → 42 + 85 + 71 = 198 → 18 → 9

571428 → 57 + 14 + 28 = 99 → 18 → 9

714285 → 71 + 42 + 85 = 198 → 18 → 9

857142 → 85 + 71 + 42 = 198 → 18 → 9

さらに3個ずつに分割して足してみるとなんと、どれも「999」になるのです！

142 + 857 = 999

285 + 714 = 999

428 + 571 = 999

571 + 428 = 999

714 + 285 = 999

857 + 142 = 999

カプレカ数

「142857」の2乗を計算してさらに2つに分割して足すと、なんと元の数字に戻るのです。こういった性質を持つ数字を「カプレカ数」といい、この数字は数あるカプレカ数のうちの25番目にあたります。

142857 × 142857

= 20408122449

20408 + 122449

= 142857

まとめ

非常に美しい法則を持つ数字を紹介しました。でも数学の世界はとても広いので、世の中には自分が知らないだけでもっときれいな法則を持つ数字ももしかしたらあるのかもしれませんね。